Black-Scholes期权定价模型

2015年01月15日 13:31
来源: 东方财富网

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摘要
B-S-M模型发表后,芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性,并用于交易。

  Black-Scholes-Merton期权定价模型(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model),即布莱克—斯克尔斯期权定价模型。

  1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院教授罗伯特·默顿(Robert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes),同时肯定了布莱克的杰出贡献。他们创立和发展的布莱克—斯克尔斯期权定价模型(Black-Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。

  斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果,两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。然而,默顿最初并没有获得与另外两人同样的威信,布莱克和斯科尔斯的名字却永远和模型联系在了一起。所以,布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵,使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。

  模型内容

B-S-M模型假设

  1、股票价格随机波动并服从对数正态分布;

期权定价模型

  2、在期权有效期内,无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的;

  3、市场无摩擦,即不存在税收和交易成本;

  4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃);

  5、该期权是欧式期权,即在期权到期前不可实施;

  6、金融市场不存在无风险套利机会;

  7、金融资产的交易可以是连续进行的;

  8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。

B-S-M定价公式

  C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)

  其中:

  d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)

  d2=d1-σ·√T

  C—期权初始合理价格

  X—期权执行价格

  S—所交易金融资产现价

  T—期权有效期

  r—连续复利计无风险利率

  σ—股票连续复利(对数)回报率的年度波动率(标准差)

  N(d1),N(d2)—正态分布变量的累积概率分布函数,在此应当说明两点:

  第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次,而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06,则r=LN(1+0.06)=0.0583,即100以583%的连续复利投资第二年将获106,该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。

  第二,期权有效期T的相对数表示,即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天,则T=100/365=0.274.

  推导运用

B-S-M模型的推导

  B-S-M模型的推导是由看涨期权入手的,对于一项看涨期权,其到期的期值是:

  E[G]=E[max(ST-L,O)]

  其中,E[G]—看涨期权到期期望值

  ST—到期所交易金融资产的市场价值

  L—期权交割(实施)价

  到期有两种可能情况:

  1、如果ST>L,则期权实施以进帐(In-the-money)生效,且mAx(ST-L,O)=ST-L

  2、如果ST<L,则期权所有人放弃购买权力,期权以出帐(Out-of-the-money)失效,且有:

  max(ST-L,O)=0

  从而:

  E[CT]=P×(E[ST|ST>L)-L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

  其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现,得期权初始合理价格:

  C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|ST>L].

  首先,对收益进行定义。与利率一致,收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值,即收益=1NSTS。由假设1收益服从对数正态分布,即1NSTS~N(μT,σT2),所以E[1N(STS]=μT,STS~EN(μT,σT2)可以证明,相对价格期望值大于EμT,为:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT从而,μT=T(γ-σ22),且有σT=σT

  其次,求(ST>L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差。所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三,求既定ST>L下ST的期望值。因为E[ST|ST]>L]处于正态分布的L到∞范围,所以,

  E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2)

  其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

  最后,将P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定价模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)

B-S-M模型应用实例

  假设市场上某股票现价S为 164,无风险连续复利利率γ是0.0521,市场方差σ2为0.0841,那么实施价格L是165,有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

  ①求D1:D1=[ln164/165+(0.052+0.0841/2)×0.0959]/√(0.0841×0.0959)=0.0327

  ②求D2:D2=0.0327-√(0.0841×0.0959)=-0.057

  ③查标准正态分布函数表,得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761

  ④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

  因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75,那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下,购买该看涨期权有利可图。

看跌期权定价公式的推导

  B-S-M模型是看涨期权的定价公式,根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型,由售出—购进平价理论,购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值,以公式表示为:

  S+PE(S,T,L)=CE(S,T,L)+L(1+γ)-T

  移项得:PE(S,T,L)=CE(S,T,L)+L(1+γ)-T-S,将B-S-M模型代入整理得:P=L·E-γT·[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权初始价格定价模型。

(责任编辑:DF146)

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